第三十讲代数：集合、数、式之五

B1-022  设P(x)是自然数x在十进制中各位数字的乘积．试求出所有能使P(x)=x²-10x-22成立的自然数．

【题说】第十届(1968年)国际数学奥林匹克题2．本题由捷克斯洛伐克提供．

【解】设n位数x满足

P(x)=x²-10x-22

                                                                                                           (1)

若n≥3，则x≥10^n-1≥100，

9ⁿ≥P(x)=x(x-10)-22≥90x-22≥90?10^n-1-22

=9?10ⁿ-22＞10ⁿ

矛盾．

若n=1，则

x=P(x)=x²-10x-22

即

x²-11x-22=0

但此方程无正整数解．因此n=2．

若x≥20，则

x²-10x-22=x(x-10)-22≥10x-22≥200-22＞9²≥P(x)

因此x=10+y，y∈{0，1，2，…，9}．(1)变成

y=(10+y)²-10(10+y)-22

易知y=2，x=12．

 

B1-023  证明：如果三个正数的积为1，而它们的和严格地大于它们的倒数之和，那么，它们中恰好有一个数大于1．

【题说】第四届(1970年)全苏数学奥林匹克八年级题2．

【证】设这三个数为a，b，c，则

(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1

左边有一个或三个因子为正．但abc=1，所以a、b、c不可能全大于1，从而a、b、c中有且只有一个数大于1．

B1-024  若干个正整数的和为1976，求这些正整数的积的最大值．

【题说】第十八届(1976年)国际数学奥林匹克题4．本题由美国提供．

【解】设这些正整数为a₁，…，a_n，则

a₁+…+a_n=1976

不妨设a_i＜4(1≤i≤n)，这是因为当a_i≥4时a_i≤2(a_i-2)，故把a_i换成2和a_i-2不会使积减小．再注意2×2×2＜3×3，所以只需考虑积2^a?3^b，其中a=0，1，2，且2a+3b=1976．由此得a=1，b=658，故所求的最大值为2×3⁶⁵⁸．

 

B1-025  确定最大的实数z，满足

x+y+z=5

                                                                                                           (1)

xy+yz+zx=3

                                                                                                           (2)

并且x、y也是实数．

【题说】第十届(1978年)加拿大数学奥林匹克题3．

【解】由(1)得(x+y)²=(5-z)²，由(2)得xy=3-z(5-z)．

于是0≤(x-y)²=(x+y)²-4xy=(5-z)²-4[3-z(5-z)]

=-3z²+10z+13=(13-3z)(1+z)

因此有

-1≤z≤13/3

当x=y=1/3时，z=13/3．因此z最大值是13/3．

 

B1-026  已知a、b、c、d、e是满足

a+b+c+d+e=8，

                                                                                                           (1)

a²+b²+c²+d²+e²=16

                                                                                                           (2)

的实数，试确定e的最大值．

【题说】第七届(1978年)美国数学奥林匹克题1．

【解】由Cauchy不等式，

(8-e)²=(a+b+c+d)²≤4(a²+b²+c²+d²)=4(16-e²)，

即

B1-027  已知：0.301029＜lg2＜0.301030，

0.477120＜lg3＜0.477121

求2000¹⁹⁷⁹的首位数字．