第一讲 整数问题：特殊的自然数之一

A1－001 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．

【题说】 1956年～1957年波兰数学奥林匹克一试题1．

x＝1000a＋100a＋10b＋b

＝11（100a＋b）

其中0＜a≤9，0≤b≤9．可见平方数x被11整除，从而x被11²整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b≤18，以a＋b＝11．于是x＝11²（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝88²．

A1－002 假设n是自然数，d是2n²的正约数．证明：n²＋d不是完全平方．

【题说】 1953年匈牙利数学奥林匹克题2．

【证】 设2n²＝kd，k是正整数，如果 n²＋d是整数 x的平方，那么

k²x²＝k²（n²＋d）＝n²（k²＋2k）

但这是不可能的，因为k²x²与n²都是完全平方，而由k²＜k²＋2k＜（k＋1）²得出k²＋2k不是平方数．

A1－003 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．

【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1．

【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n²＋3n）（n²＋8n＋2）

＝（n²＋3n＋1）²－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．
 A1－004 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．