第十七讲整数问题：关于数字问题之三

A3－019 某州颁发由6个数字组成的车牌证号（由0―9的数字组成），且规定任何两个牌号至少有两个数字不同（因此，证号“027592”与“020592”不能同时使用），试确定车牌证号最多有多少个？

【题说】 第十九届（1990年）美国数学奥林匹克题1．

【解】 至多可造出不同的五位证号a₁a₂a₃a₄a₅10⁵个．令a₆是a₁＋a₁＋a₃＋a₄＋a₅的个位数字，所成的六位数便满足要求．因为如果两个数的前五位中只有一个数字不同，那么第6位数字必然不同．

另一方面，任何10⁵＋1个6位数中，总有两个前五位数字完全相同．

因此，符合题目要求的车牌证号最多有10⁵个．

A3－020 设 A＝99…99（81位全为9），求A²的各位数字之和．

【题说】 1991年日本数学奥林匹克预选赛题1．

【解】 由A＝10⁸¹－1知

A²＝10¹⁶²－2?10⁸¹＋1

＝99…980…01

↑       ↑

162位     82位

故A²各位数字之和＝9×（162－82）＋8＋1＝729．

A3－021 如果一个正整数的十进制表示中至少有两个数字，并且每个数字都比它右边的数字小，那么称它为“上升”的．这种“上升”的正整数共有多少个？

【题说】 第十届（1992年）美国数学邀请赛题2．

【解】 符合条件的正整数中的数字，都是不同的非零数码，即集合S＝{1，2，3，…，9}的二元或二元以上的子集．反过来，S的每个二元或二元以上的子集，将它的数码从小到大排列，也得到一个符合条件的正整数．S的子集共有2⁹

=512个，其中只含一个元素的子集有9个，一个空集．故符合条件的正整数共有512－10=502个．

A3－022  试用一个n的函数，表示乘积

在十进制下各位数字的和．

【题说】第二十一届（1992年）美国数学奥林匹克题1．

【解】先给出引理：设自然数m的位数不多于d，M=（10^k－1）m（k≥d）．则

S（M）=9k

这里S（M）表示M中各位数字的和．

事实上，令M=（10^k－1）m=p+q+r，这里p=10^k（m－1），q=10^d－m，r=10^k－10^d．若m－1的十进制的表示是

a_i+b_i=9（i=1，2，…，d）

r=（10^k－1）－（10^d－1）

=99…9（k个9）－99…9（d个9）

=99…900…0（k－d个9，d个0）

个9，d个0）

从而，S（M）=9k

记题给乘积为M＇，且令

A3－023  求方程

的各个正根的乘积的最后三位数字．

【题说】第十三届（1995年）美国数学邀请赛题2．

【解】令y=1og₁₉₉₅x．由原方程取对数得

其最后三位数字为025．

A3－024  一个六位数的首位数字是5，是否总能够在它的后面再添加6个数字，使得所得的十二位数恰是一个完全平方数？

【题说】1995年城市数学联赛高年级普通水平题3．

【解】不．若不然，10⁵个以5为首位数字的六位数可以衍生出105个十二位的完全平方数．即有10⁵个自然数n满足．

5×10¹¹≤n²＜6×10¹¹

亦即

7×10⁵＜n＜8×10⁵

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