第二十三讲整数问题：关于综合题之三

A5－015  将19分成若干个正整数之和，使其积为最大．

【题说】1984年上海市赛一试题2（9）．

【解】由于分法只有有限种，其中必有一种分法，分成的各数的积最大．我们证明这时必有：

（1）分成的正整数只能是2和3．

因为4=2＋2，且4=2×2，若分出的数中有4，拆成两个2其积不变；若分出的数中有数a≥5．则只要把a拆成2与a－2，由2（a－2）＞a知道积将增大．

（2）分成的正整数中，2最多两个．

若2至少有3个，则由3＋3=2＋2＋2及3×3＞2×2×2可知，将3个2换成2个3，积将增大．

所以，将19分成5个3与2个2的和，这些数的积3⁵×2²=972是最大的．

A5－016  设a、b、c、d是奇整数，0＜a＜b＜c＜d，且ad=bc．证明：如果对某整数k和m有a＋d=2^k和b＋c=2^m，那末a=1．

【题说】第二十五届（1984年）国际数学奥林匹克题6．

【证】因为a[（a＋d）－（b＋c）]

=a²＋ad－ab－ac＝a²＋bc－ab－ac=（a－b）（a－c）＞0

所以a＋d＞b＋c，即2^k＞2^m，k＞m．

又由ad=bc，有                        a（2^k－a）=b（2^m－b）

2^m（b－2^k-ma）=b²－a²=（b＋a）（b－a）

可知2^m整除（b＋a）（b－a）．但b＋a和b－a不能都被4整除（因为它们的和是2b，而b是奇数），所以2^m-1必整除b＋a或b－a之一．

因为b＋a＜b＋c=2^m，所以b＋a=2^m-1或b－a=2^m-1．

因为a、b是奇数，它们的公因数也是奇数，且是b＋a和b－a的因数，从而是2^m-1的奇因数，即1．所以a与b互质，同理a与c也互质．但由ad=bc，知a能整除bc，故a=1．

A5－017  对正整数n≥1的一个划分π，是指将n分成一个或若干个正整数之和，且按非减顺序排列（如n=4，划分π有1＋1＋1＋1，1＋1＋2，1＋3，2＋2及4共5种）．对任一划分π，定义A（π）为划分π中数1出现的个数；B（π）为π中出现不同的数的个数（如对n=13的一个划分π：1＋1＋2＋2＋2＋5而言，A（π）=2，B（π）=3）．求证：对任意正整数n，其所有划分π的A（π）之和等于B（π）之和．

【题说】第十五届（1986<FONT style="FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-h