第二十五讲整数问题：关于综合题之四

A5－022  一个自然数若能表为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如16=5²－3²，16就是一个“智慧数”．在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．

【题说】1990年北京市赛高一复赛题4．

【解】显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k＋1=（k＋1）²－k²，都是“智慧数”．

4k=（k＋1）²－（k－1）²

可见大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x²－y²=（x＋y）（x－y）（其中x、y∈N），当x，y奇偶性相同时，（x＋y）（x－y）被4整除．当x，y奇偶性相异时，（x＋y）（x－y）为奇数，所以形如4k＋2的数不是“智慧数”

在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”．

由于1989=3×663，所以2656=4×664是第1990个“智慧数”．

A5－023  有n（≥2）名选手参加一项为期k天的比赛，每天比赛中，选手的可能得分数为1，2，3，…，n，且没有两人的得分数相同，当k天比赛结束时，发现每名选手的总分都是26分．试确定数对（n，k）的所有可能情况．

【题说】第二十二届（1990年）加拿大数学奥林匹克题1．

【解】所有选手得分总和为

kn（n＋1）/2=26n，即k（n＋1）=52

（n，k）取值可以是（3，13），（12，4），（25，2）及（51，1），但最后一种选择不满足要求．

当（n，k）=（3，13）时，3名选手13天得分配置为（1，2，3）＋2（2，3，1）＋2（3，1，2）＋3（1，3，2）＋2（3，2，1）＋3（2，1，3）=（26，26，26）．

当（n，k）=（12，4）时，12名选手4天得分配置为2（1，2，…，11，12）＋2（12，11，…，2，1）=（26，26，…，26）．

当（n，k）=（25，2）时，25名选手两天得分配置为（1，2，…，24，25）＋（25，24，…，2，1）=（26，26，…，26）．

A5－024  设x是一个自然数．若一串自然数x₀=1，x₁，x₂，…，x_t-1，x_t=x，满足x_i-1＜x_i，x_i-1|x_i，i=1，2，…，t．则称{x₀，x₁，x₂，…x_t}为x的一条因子链，t为该因子链的长度．T（x）与R（x）分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数．

对于x=5^k×31^m×1990ⁿ（k，m，n<FONT style="FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: