关于影响数学学习迁移的因素

 数学学习的迁移不是自动发生的，它受制于许多因素。其中最主要的有数学学习材料的因素、数学活动经验的概括水平以及数学学习定势。

一、数学学习材料的相似性

迁移需要通过对新旧学习中的经验进行分析、抽象，概括出其中共同的经验成分才能实现。因此，数学学习材料在客观上要有相似性。心理学的研究表明，相似程度的大小决定着迁移范围和效果的大小。许多心理学家从学习对象的结构来分析相似性对迁移的影响。学习对象的构成成分可以区分为结构的和表面的。例如，一元二次方根的判别式，字母是表面成分，“一次项系数”－“二次项系数与常数项系数之积的4倍”是其结构成分。如果两个任务有共同的结构成分，则产生正迁移，否则不能促进正迁移。学习任务之间的相似性是由共同因素决定的，共同因素越多，相似性越大。但不管是表面的还是结构的相似性，都将增加学生对两个任务的相似性程度的知觉，而知觉到的相似性决定了迁移量的多少，两种情景的结构相似性决定了迁移的正或负。因此，在数学教学中，注意抓共同因素，通过共同因素来促进迁移，可以增强学习效果。

　　例1 已知  ，求证：a，b，c三数成等比数列。

　　分析：由已知条件的结构与一元二次方程根的判别式结构的相似性，构造方程：

　　 ，①

　　由条件知①有等根，又由其系数之和为0，知①有根x＝1。从而由韦达定理得：

　　 由此即得所证。

二、数学活动经验的概括水平

数学学习的迁移是一种学习中习得的数学活动经验对另一种学习的影响，也就是已有经验的具体化与新课题的类化过程或新、旧经验的协调过程。因此，已有数学活动经验的概括水平对迁移的效果有很大影响。一般来说，概括水平越低，迁移范围就越小，迁移效果也越差；反之，概括水平越高，迁移的可能性就越大，效果也越好。在数学学习中，重视基本概念、基本原理的理解，重视数学思想方法的掌握，其意义就在于这些知识的概括水平高，容易实现广泛的、效果良好的迁移。

心理学家以专家和新手作为被试对学习情景的结构相似性和表面相似性进行了深入的研究。结果表明，当两种学习具有结构相似性但表面不相似时，专家比新手更易产生正迁移。而两种学习仅具有表面相似性时，新手比专家更易产生负迁移。其原因是新手一般根据看得见的表面特征来形成表象，而对抽象的结构特征往往注意不到。新手应用表面特征作为提取线索，只要两个问题具有相似的表面特征，他们就会用同样的方式来解决。但专家往往善于从抽象的结构水平上把握相似性，较少受表面特征的干扰。如果产生了负迁移，专家会在尝试使用错误程序后，以相似性和结构这两种特征作为提取线索，对两个任务的关系重新进行分析、加工，这就比较容易摆脱负迁移。专家之所以能够做到这一点，其原因就在于他们善于从深层结构上去理解知识，把知识与其应用的条件、应用方式结合起来，从而准确地把握知识的功能。

例1 关于x的方程有且仅有一个公共实根，求k的值。

例2 关于x的方程有且仅有一个公共实根，求p＋q的值。

在学习了一元二次方程根的概念后，将上述两个问题一起呈现，观察学生在解题中的表现。可以发现，解例1的过程是：

令α为它们的公共根，由根的概念，有

，

两式相减得

，

显然，k≠1，因此，α＝1，于是k＝－2。

解例2时，大多数学生重复了解例1时的过程。

但是，对专家解答上述两个问题的观察可以发现，他们在解答例2时，先分析它的结构特征，在发现例1仅仅是它的特例后，利用例1所提供的“结构信息”，在心中默想让p＝k，q＝1，不需进行重复操作而直接说出了答案为－1。

我们知道，在新知识的学习过程中，已有认知结构中具有概括水平高、包容范围广、能够起固定作用的有关知识，而且这些知识是清晰、稳定的，与新知识之间彼此可以容易地区分的，是新知识学习的最重要条件。这里讲的也是已有经验（认知结构）的概括性问题。已有认知结构的概括性高，新旧知识的本质差异或相似性就容易辨别，而且，概括性与稳定性、清晰性是紧密联系的。因此，已有数学活动经验的概括性是影响迁移的不可忽视的重要因素。

总之，概括程度高的已有数学活动经验为正迁移的产生提供了最重要的先决条件。正如布鲁纳指出的，所掌握的知识越基础、越概括，对新学习的适应性就越广泛，迁移就越广泛。所以，在数学学习中，应当强调基础知识的掌握，即要强调理解抽象的、概括水平高的数学基本概念、原理、公式、法则等以及由内容反映出的数学思想方法。领会数学基本概念“是通向适当的‘训练迁移’的大道”。

三、数学学习定势

定势现象是一种预备性反应或反应的准备，它是在连续活动中发生的。在活动进程中，先前活动经验为后面的活动形成一种准备状态。定势是指向于一定活动的动力因素，它使学生倾向于在学习时以一种特定的方式进行反应。定势本身是在一定活动基础上形成的，它实际上是关于活动方向选择方面的一种倾向性，这种倾向性本身是一种活动经验。有的心理学家认为，活动的重复与活动的需要是定势形成的不可缺少因素。

由于定势是关于选择活动方向的一种倾向性，因此对迁移来说，定势的影响既可以起促进作用也可以起阻碍作用。后续作业是先前作业的同类课题时，一般来说，定势对学习能够起促进作用。数学教学中，我们往往利用定势的这一作用，循序渐进地安排一组具有一定变化性的问题，来促使学生掌握某种数学思想方法。

例1① 解方程|x＋3|＋|x－3|＝10。

此题的解法很多，此处是为了使学生理解|x－A|的几何意义在解题中的作用而设置，通过教学使学生初步掌握用绝对值意义解题的思想方法。

题中|x＋3|、|x－3|分别表示实数轴上点x到点－3、3的距离，分别用a、b表示这两个距离。容易看出（如图5.3.1），当|x|≤3时，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6，因此，方程有解的范围是|x|＞3。于是有下列方程组：

图5-3-1

　　得a＝8，b＝2，而x＝b＋3＝a－3＝5。再利用对称性可求出另一根。
　　这里，|x－A|的几何意义使学生看出了在|x|≤3时，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6。这一点在解下列问题中很有意义。
　　例2 求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋|x＋4|＋|x－5|的极小值。
　　根据上述例1的经验，容易想到使函数取极小值的x∈[－4，5]，且在该区间上只需讨论函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋9即可；进一步，x∈[－2，3]，保证了 x∈[－4，5]，于是只需讨论函数f(x)＝|x－1|＋5＋9即可。显然函数的极小值是函数f(1)＝5＋9＝14。
　　下面给出代数解答。
　　不难证明，若x₁∈[－4，5]，x₂∈(－∞，－4)∪(5，∞)，则f(x₁)＜ f(x₂)。
　　据|A＋B|≤|A|＋|B|中等号成立的充要条件AB＞0，有：x∈[－2，3]时(x＋2)(x－3)≤0和(x＋4)(x－5)≤0，于是(x＋2)(3－x)≥0，(x＋4)( 5－x)≥0,因此，|x＋2|＋|x－3|＝|(x＋2)＋(3－x)＝5，|x＋4|＋|x－5|＝|(x＋4)＋(5－x)＝9，故函数的最小值是f(1)＝14。
　　利用|x－A|的几何意义和|A＋B|≤|A|＋|B|中等号成立的充要条件是AB＞0，不难得到下例的解法。

　　例3 求函数  （i≠j时，b_i≠b_j）的极小值。

　　不妨设b₁＜b₂＜…＜b_n，当n＝2k－1（k为正整数）时，极小值为  ；当n＝2k时，极小值为  。

　　实际上，在上述解法中，n为奇数时，  是数列b₁，b₂，…，b_n中居于中间的那个数，n为偶数时，  是数列b₁，b₂，…，b_n中居于中间的那两个数。在数理统计中有“中位数”的概念，我们可以认为，极小值是在“中位数”这一点上取得的。由此还可以解释为什么在各种大奖赛中，用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法计算成绩的合理性。

　　在例3的讨论中，如果出现i≠j，b_i＝b_j的情况，例如

　　例4 求f(x)＝2|x－1|＋3|x＋2|＋4|x－3|的极小值。

　　当x∈[－2，3]时，f(x)＝2|x－1|＋3（|x＋2|＋|x－3|）＋|x－3| ＝2|x－1|＋3?5＋|x－3|；当x∈[1，3]时显然有x∈[－2，3]，有f(x)＝|x－1|＋15＋（|x－3|＋|x－1|）＝|x－1|＋15＋2，因此，所求极小值为f(1)＝17。

　　利用“中位数”概念，由－2≤－2≤－2＜1≤1＜3≤3≤3≤3，知数1处于中间位置，因此直接可求出极小值为f(1)＝17。

将上述纯数学问题赋予一定的实际意义，就可以编出所谓的“实际应用题”：

例5 一条河流沿岸有n个码头，现欲建一个储油站供各个码头使用，如果每个码头的用油量相同，那么储油站设在哪里最合算？

还可以引进“权”的概念，即再上题中将“每个码头用油量相同”改为“各个码头用油量分别为ai（i＝1，2，…，n）”，如何设计储油站的位置？

又如：某国道附近有n个城镇，各城镇都有公路与国道相连，距离分别为si（i＝1，2，…，n）。这n个城镇决定集资修建一个货物转运站，如何选择建站地点从整体上看最合理？

如果要学习的知识与先前的某些知识貌似相同但本质不同，或者虽然类似但需要进行变通，这时定势可能产生干扰作用，使思维僵化，解题方法固定化，从而阻碍迁移。研究表明，学生如果在较难的问题中用惯了某一公式，那么他们以后就有坚持应用这一公式的倾向，并且很难改变；如果学生在较易解决的问题中用惯了某一公式，则在解决新问题时能够较灵活地适应。因此，学习时对某一法则或方法付出的代价越大，定势导致的僵化行为就越难改变。由此可以得出，定势在迁移方面的消极作用，往往表现为一种具有负迁移的功能固着，导致盲目地套用某种程式，简单模仿某种经验，从而影响问题的顺利解决。

　　例如，求二次函数  的最大值或最小值，通常用“配方法”：

　　 ，

　　因此，a＜0时，。

　　一般来说，许多学生在学习过程中都把注意力放在“配方”和    上，而对于  到底能否取得则往往不予注意。如果教师在组织“求二次函数的最大、最小值”训练的开始阶段，对这一点没有给予充分重视，则经过一定的强化训练，就会形成“不顾x的取值范围”的定势。在解类似于下列问题时出现错误：

　　例6 α、β是方程  的两个根，问m为何值时，α²＋β²有最小值？

　　解：  ，

　　又α²＋β²≥0，因此当  时，α²＋β²有最小值0。

　　还有许多学生得出最小值为  。

大多数教师肯定有过这样的经验：当学生出现上述错误时，要求他们重新检查结果，并改正错误，学生在这样的要求下能够独立正确地检查和改错任务，但下次解答同类问题时，上述错误仍然再次出现。显然，造成这种问题的原因不是因为学生头脑中缺乏应有的知识，而是因为“配方法”求“最值”程序的定势所造成的。这一点正如心理学家指出的，规则经过程序化后，人的行为会变得相当刻板。这样，如果学生总是习惯以一种方式来处理某类问题情景（如上面的“配方”然后“找零点”），那么他们处理这种问题情景的程序就会得到充分编辑，既被组合起来，又被程序化。一旦出现这种程序化，人就很难对它进行有意识的检验和评价，因而很少甚至绝不会想到再启用另一些更可取的程序，即使这些程序已经保持在他的长时记忆中。因此，为了克服定势所造成的负迁移，应当使知识的学习与其使用条件的认知结合起来，加强根据具体条件灵活应用知识的训练。