1990年全国初中数学联赛（第一试）题目

一、选择题
1．的值是 （ ）
（A）1 （B）－1 （C）2 （D）－2
2．在 △ABC 中,AD 是高,且 AD² = BD?CD，那么∠BAC 的度数是（ ）
（A）小于90° （B）等于90° （C）大于90° （D）不确定
3．方程 7x²-(k+13)x + k² - k - 2 = 0,(k 是实数)有两个实根 α 、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么 k 的取值范围是（ ）
（A）3＜k＜4 （B）－2＜k＜－1 （C）3＜k＜4 或 －2＜k＜－1 （D）无解。
4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是
（A）17 （B）18 （C）35 （D）36
5．△ABC中，AB = 2√2，AC = √2 ，BC = 2，设 P 为 BC 边上任一点，则
（A）PA²＜PB?PC （B）PA²=PB?PC （C）PA²＞PB?PC（D）PA²与PB?PC的大小关系并不确定
6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形
（A）不存在 （B）只有一个 （C）有有限个，但不只一个 （D）有无穷多个
7．若 log_ab 的尾数是零，且 log_a(1/b)＞log_a√b＞log_ab²，那么下列四个结论：
（1）1/b ＞√b＞b² （2） log_ab + log_ba = 0 （3）0 ＜a＜b＜1（4）ab = 1中，正确的结论的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
8．点P、Q、R分别在△ABC的边上AB、BC、CA上，且BP = PQ = QR = BC = 1，那么，△ABC面积的最大值是
（A）√3 （B）2 （C）√5 （D）3
二、填空题
1、已知 ，则 = _______。
2、1²，2²，3²，…，123456789² 的和的个位数的数字是________。
3、方程 (x - a)(x - 8) = 1，有两个整数根，则 a = _______。
4、△ABC中，AB = AC = 2，BC 边有100个不同的点 P₁，P₂，…，P₁₀₀，记 m_i = AP_i² + BP_i?P_iC (i=1，2，…，100)
则 m₁ + m₂ + … + m₁₀₀ = _____。

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