2002年全国数学联赛竞赛试题（高中）
来源：数学联赛 文章作者：数学联赛 2008-11-04 10:45:19
| 一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（ ）。 （A）（－∞,－1） （B）（－∞,1） （C）（1,＋∞） （D）（3,＋∞） 2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（ ）。 （A）2 （B）1 （C）√3 （D）√2 3、函数f(x)=x/(1-2x)-x/2（ ） （A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数 4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（ ）。 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤ （A） 6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（ ）。 （A）V1=（1/2）V2 （B）V1=（2/3）V2 （C）V1=V2 （D）V1=2V2 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、已知复数Z1,Z2满足ㄏZ1ㄏ＝2,ㄏZ2ㄏ＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则ㄏ(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)ㄏ= 。 8、将二项式 9、如图，点P1，P2，…，P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有 个。 10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= 。 11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则ㄏxㄏ-ㄏyㄏ的最小值是 。 12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、已知点A（0,2）和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。 14、如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。 （1）求数列｛Sn｝的通项公式； （2）求 15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件： （1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2）当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2; （3）f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。 |
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