2003年全国数学联赛竞赛试题（高中）
来源：数学联赛 文章作者：数学联赛 2008-11-04 10:41:26
| 一、选择题（每小题6分,满分36分） 1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是 (A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049 2．设a, b∈R, ab≠0，那么，直线 ax-y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 (A) (B) (C) (D) 3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 (A) 16/3 (B) 8/3 (C)16√3/3 (D)8√3 4．若x∈[-5π/12，-π/3则y = tan(x+2π/3)-tan(x+π/6)+cos(x+π/6)的最大值是 (A) (12/5)√2 (B) (6/11)√2 (C) (11/6)/√3 (D) (12/5)√3 5．已知x,y都在区间(-2,2)内，且xy＝-1，则函数u=4/(4-x2)+9/(9-y2)的最小值是 (A) 8/5 (B) 24/11 (C) 12/7 (D) 12/5 6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=√3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π/3，则四面体ABCD的体积等于 (A) √3/2 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) √3 二、填空题(每小题9分,满分54分) 7．不等式|x|3-2x2-4|x|+3＜0的解集是__________. 8．设F1,F2是椭圆x2/9+y2/4的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于__________. 9．已知A={x|x2-4x+3＜0,x∈R}, B={x|≤0, x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}．若A是B的子集, 则实数a的取值范围是____________. 10．已知a,b,c,d均为正整数，且logab=3/2, logcd=5/4，若a-c=9, 则b-d=________. 11．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.a1a2…an|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则 三、解答题(每小题20分，满分60分) 13. 已知3/2≤x≤5,证2√(x+1)+√(2x-3)+√(15-3) < 2√19 14. 设A、B、C分别是复数Z0=ai,Z1=1/2+bi,Z2=1+ci对应的不共线三点。 证：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t与中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。 15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A'刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A'取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。 |
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