1992年全国数学联合竞赛试题（高中）

（第一试）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、对于每个自然数，抛物线与轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点的距离，则|A₁B₁|＋|A₂B₂|＋…＋|A₁₉₉₂B₁₉₉₂|的值是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

2、已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是（ ）。

（A）；（B）；

（C）；（D）。

3、设四面体四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，它们的最大值为S，记，则一定满足（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为，且，都是方程的根，则△ABC（ ）。

（A）是等腰三角形，但不是直角三角形；（B）是直角三角形，但不是等腰三角形；

（C）是等腰直角三角形；（D）不是等腰三角形，也不是直角三角形。

5、设复数、在复平面上对应的点分别为A、B，且，，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

6、设是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：，，则是（ ）。

（A）偶函数，又是周期函数；（B）偶函数，但不是周期函数；

（C）奇函数，又是周期函数；（D）奇函数，但不是周期函数。

二、填空题（每小题5分共30分）

1、设是实数，成等比数列，且成等差数列，则的值是 __________。

2、在区间中，三角方程的解的个数是 __________。

3、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值是__________。

4、设，都是复数，且，，，则的值是__________。

5、设数列满足，，且对任何自然数，都有，又，则

的值是 __________。

6、函数的最大值是 __________。

三、（20分）求证：。

四、（20分）设，是两条异面直线，在上有A、B、C三点，且AB＝BC，过A、B、C分别作的垂线AD、BE、CF，垂足依次是D、E、F，已知AD＝，BE＝，CF＝，求与的距离。

五、（20分）设是自然数，，令。

（1）求证：；

（2）用数学归纳法证明：

（第二试）

一、（35分）设A₁A₂A₃A₄为⊙O的内接四边形，H₁、H₂、H₃、H₄依次为△A₂A₃A₄，△A₁A₃A₄，△A₁A₂A₄，△A₁A₂A₃的垂心。求证：H₁、H₂、H₃、H₄四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置。

二、（35分）设集合，若X是的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集。

（1）求证的奇子集与偶子集个数相等。

（2）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。

（3）当时，求的所有奇子集的容量之和。

三、（35分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点满足（1），， ，（2）任何三点不在同一条直线上。试证：在以为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2。