1993年全国数学联合竞赛试题（高中）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、若，，则的元素个数是（ ）。

（A）4；（B）5；（C）8；（D）9。

2、已知，（为实数），且，则的值是（ ）。

（A）－5；（B）－3；（C）3；（D）随取不同值而取不同值。

3、集合A、B的并集，当A≠B 时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数是（ ）。

（A）8；（B）9；（C）26；（D）27。

4、若直线被曲线

所截的弦长为，当变化时，的最小值是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

5、在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为，若等于AC边上的高，则的值是（ ）。

（A）1；（B）；（C）；（D）－1。

6、

设为非零复数，为虚数单位，，则方程与在同一复平面内的图形（F₁、F₂为焦点）是（ ）。

二、填空题（每小题5分，共30分）

1、二次方程（为虚数单位，）有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为 __________。

2、实数满足，设，则

__________。

3、若，，，则的值是 __________。

4、整数的末两位数是 __________。

5、设任意实数，要使

恒成立，则的最大值是__________。

6、三位数（100，101，…，999）共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片倒过来看时则不然，如531。因此，有些卡片可以一卡二用，于是，至多可以少打印__________ 张卡片。

三、（本题满分20分）

三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP。证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为D’，则D’为三棱锥S-ABC的外接球球心。

四、（本题满分20分）

设，过两定点A（，0）和B（，0）分别引直线和，使与抛物线有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线与的交点P的轨迹。

五、（本题满分20分）

设正数列满足，且。求的通项公式。