1996年全国数学联合竞赛试题（高中）

一、选择题(本题满分36分，每题6分)

1、把圆与椭圆的公共点，用线段连接起来所得到的图形为（ ）。

（A）线段；（B）不等边三角形；（C）等边三角形；（D）四边形。

2、等比数列的首项，公比,用表示它的前项之积。则最大的是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

3、存在整数，使是整数的质数（ ）。

（A）不存在；（B）只有一个；（C）多于一个,但为有限个；（D）有无穷多个。

4、设，以下三个数，，的大小关系是（ ）。

（A）；（B）；

（C）；（D）。

5、如果在区间[1，2]上函数与在同一点取相同的最小值，那么在该区间上的最大值是（ ）。

（A）；（B）；

（C）；（D）以上答案都不对。

6、高为8的圆台内有一个半径为2的球O₁，球心O₁在圆台的轴上，球O₁与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O₂，使得球O₂与球O₁、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O₂，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（ ）。

（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。

二、填空题(本题满分54分，每小题9分)

1、集合的真子集的个数是 __________。

2、复平面上，非零复数在以为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，的辐角主值为，则__________。

3、曲线C的极坐标方程是，点A的极坐标是（2，0），曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是 __________。

4、已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是 __________。

5、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有 __________ 种。（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。）

6、在直角坐标平面，以（199，0）为圆心，199为半径的圆周上整点（即横、纵坐标皆为整数的点）)的个数为 __________ 。