1997年全国数学联合竞赛试题（高中）

一、选择题（每小题6分，共36分）

1、已知数列满足，,, 记，则下列结论正确的是（ ）。

（A），；（B），；

（C），；（D），。

2、如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，记,其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，则（ ）。

（A）在单调增加；（B）在单调减少；

（C）在单调增加，而在单调减少；

（D）在为常数。

3、设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为97²，则这样的数列共有（ ）。

（A）2个；（B）3个；（C）4个；（D）5个。

4、在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围为（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

5、设,，，，，则（ ）。

（A）；（B）；

（C）；（D）。

6、如果空间三条直线两两成异面直线，那么与都相交的直线有（ ）。

（A）0条；（B）1条；（C）多于1 的有限条；（D）无穷多条。

二、填空题(每小题9分，共54分)

1、设为实数，且满足，则__________。

2、过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB|＝的直线恰有3条，则＝ __________。

3、已知复数满足，则的幅角主值范围是 __________。

4、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 __________ 。

5、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 __________ 种。

6、设，，，记中最大数为M，则M的最小值为 __________ 。

三、（本题满分20分）

设，且，求乘积的最大值和最小值。

四、（本题满分20分）

设双曲线的两支为C₁，C₂（如图），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。

（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；

（2）设P（－1，－1）在C₂上，Q、R在C₁上，求顶点Q、R的坐标。

五、（本题满分20分）

设非零复数满足

，其中S为实数且|S|≤2。

求证：复数在复平面上所对应的点位于同一圆周上。

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