1998年全国数学联合竞赛试题（高中）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、若且，则的值

(A) 等于；(B)等于1；(C)等于0；(D)不是与无关的常数。

2、若非空集合，则能使成立的所有的集合是( )。

(A) ；(B) ；(C) ；(D)。

3、各项均为实数的等比数列的前项和记为，若,则等于( )。

(A) 150；(B)－200；(C)150或－200；(D)400或－50。

4、设命题P：关于的不等式与的解集相同；命题Q：。则命题Q

(A)是命题P的充分必要条件；(B)是命题P的充分条件但不是必要条件；(C)是命题P的必要条件但不是充分条件；(D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件。

5、设E ,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角C- FG- E的大小是( )。

(A)；(B)；(C)；(D)。

6、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( )。

(A)57；(B)49；(C)43；(D)37。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1、若是以2为周期的偶函数，当时，，则,,由小到大的排列是_________________。

2、设复数，复数在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是_______。

3、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种。

4、各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有___________项。

5、若椭圆与抛物线有公共点，则实数的取值范围是_____________。

6、△ABC中，∠C＝90°,∠B＝30°,AC＝2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A,B两点间的距离为，此时三棱锥A- BCM的体积等于________。

三、（本题满分20分）

已知复数，求的共轭复数的辐角主值。

四、（本题满分20分）

设函数，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立。
问：为何值时，最大？求出这个最大的，证明你的结论。

五、（本题满分20分）

已知抛物线及定点,,，M是抛物线上的点，设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为。

求证：当M点在抛物线上变动时（只要存在且），直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。

=============== =============== ===============

1998年全国高中数学联合竞赛答案

一、选择题

1、C；2、B；3、A；4、D；5、D；6、B。

二、填空题

1、 ；2、3；3、51；4、8；5、；6、。

三、。

四、时，的最大值是。

五、定点是。