1997年全国高中数学联合竞赛第二试试题附录答案
来源:数学联赛 文章作者:数学联赛 2008-11-04 10:42:58

证明:如图,设圆、圆
,圆
的半径分别为
、
、
。由条件知O、O1、S三点共线及O、O2、T三点共线,且OS=OT=
,连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N、O1O2。
充分性:设S、N、T三点共线,则∠S=∠T,又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形,
∴∠S=∠O1NS,∠T=∠O2NT, ∴∠S=∠O2NT, ∠T=∠O1NS,
∴O2N∥OS, O1N∥OT,故四边形OO1NO2为平行四边形,由此知OO1=O2N==MO2,
OO2=O1N==MO1, ∴△O1MO≌△O2OM,从而有
,由此得O1O2∥OM,又由于O1O2⊥MN,故0M⊥MN。
必要性:若0M⊥MN,又O1O2⊥MN,故O1O2∥OM,从而有,
设OM=,由O1M=
,O1O=
-
,O2O=
-
,O2M=
,知△O1MO与△O2OM 的周长都等于
+
,记
,由三角形面积的海伦公式,有
,
化简得(-
)(
-
-
)=0,又已知
≠
,∴
=
+
,故有
O1O=-
=
=O2N,O2O=
-
=
=O1N,∴OO1NO2为平行四边形,
∴∠O1NT+∠T=180°,∠O2NS+∠S=180°,又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形,
∠T=∠O2NT,∠S=∠O1NS,∴∠O1NO2+2∠S=∠O2NS+∠S=∠O1NT+∠T=∠O1NO2+2∠T,即∠S=∠T,∴∠O1NS=∠O2NT,故∠O1NS+∠O1NO2+∠O2NT=∠SNO2+∠S=180°,
∴S、N、T三点共线。
2、试问:当且仅当实数满足什么条件时,存在实数
使得
…(1)成立,其中
为虚数单位,
,证明你的结论。 (天津供题)
解:易知(1),
若存在实数使(2)成立,则
,
由柯西不等式可得,如果
,则由(2)可得
,从而
与(3)矛盾。于是得
,
反之,若(4)成立,有两种情况
(i),则取
,显然(2)成立。
(ii),记
,从而
不全为0,不妨设
,取
,
,
,易知(2)也成立。
综上可知,所求的条件为。
3、在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数,第行第
列中填入的数为
(如表1),然后将表1每列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为
(如表2)。求最小的自然数
,使得只要表1中填入的数满足
,则当
时,在表2中就能保证
成立。 (命题组供题)
解:的最小值为97。
(1)取
这时,满足题设条件,重排后有
,
这时,故
的最小值
。
(2)首先证明:表1中必有一行(设为第行)的所有数
,必在重排后所得表2的前97行中都出现。
事实上,若上述结论不成立,则表1的每一行中至少有一个数不在表2的前97行中出现,即表2的前97行中至多共有表1中100×24=2400个数,这与表2的前97行共有25×97=2425个数矛盾。
其次,由重排要求知表之中每列的数从上到下是由大到小排列的,故当时,
故当
时,
,
综合(1)、(2)知的最小值为97。
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