1999年全国数学联合竞赛试题（高中）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、给定公比为的等比数列，设，，…，，…，则数列

（A）是等差数列； （B）是公比为的等比数列；

（C）是公比为的等比数列； （D）既非等差数列又非等比数列。

[答]（C）

2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式

的整点的个数是

（A）16； （B）17； （C）18； （D）25。

[答]（A）

3、若，则

（A）；（B）；（C）；（D）。

[答]（B）

4、给定下列两个关于异面直线的命题：

命题I：若平面α上的直线与平面β上的直线为异面直线，直线是α与β的交线，那么至多与，中的一条相交；

命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么

（A）命题I正确，命题II不正确；（B）命题II正确，命题I不正确；

（C）两个命题都正确； （D）两个命题都不正确。

[答]（D）

5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后退出，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是

（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。

[答]（B）

6、已知点A（1，2），过点（5，－2）的直线与抛物线交于另外两点B、C，那么△ABC是

（A）锐角三角形； （B）钝角三角形； （C）直角三角形； （D）答案不确定。

[答]（C）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1、已知正整数不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的的个数是__________。

[答] 6

2、已知，那么复数的辐角主值是__________。

[答]

3、在△ABC中，记BC＝，CA＝，AB＝，若，则

__________。

[答]

4、已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是__________。

［答]

5、已知直线中的是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是__________。

［答] 43

6、已知三棱锥S--ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H--AB--C的平面角等于30°，SA＝，那么三棱锥S--ABC的体积为__________。

［答]

三、（本题满分20分）

已知当时，不等式恒成立，试求的取值范围。 　　　　

答案：， 是整数。

四、（本题满分20分）

给定A（－2，2），已知B是椭圆上的动点，F是左焦点。当取最小值时，求B的坐标。　　　　　　　　

答案：。

五、（本题满分20分）

　　给定正整数和正数，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值。

答案：。