2000年全国数学联合竞赛试题（高中）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设全集是实数，若,则是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

2、设，，且，则的取值范围是（ ）。

（A）；

（B）；

（C）；

（D）。

3、已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

4、给定正数，其中，若是等比数列，是等差数列，则一元二次方程（ ）。

（A）无实根；（B）有两个相等实根；（C）有两个同号相异实根；（D）有两个异号实根。

5、平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（ ）。

（A）；（B）；（C）；（D）。

6、设，则以为根的方程是（ ）。

（A）；（B）；

（C）；（D）。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、__________。

8、设是的展开式中项的系数，则________。

9、等比数列，，的公比是 ________。

10、在椭圆中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。若该椭圆的离心率是，则∠ABF＝ _________。

11、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积是 ________。

12、如果：（1）都属于；

（2）；

（3）是中的最小值，

那么，可以组成的不同的四位数的个数是________。

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)

13、设，求的最大值。

14、若函数在区间上的最小值为，最大值为，求。

15、已知和。试问：当且仅当满足什么条件时，对上任意一点P，均存在以P为项点,与外切,与内接的平行四边形？并证明你的结论。