1992年全国数学联赛第二试（高中）
来源：数学联赛 文章作者：数学联赛 2008-11-04 10:43:57
| 一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的垂心，求证：H1，H2，H3，H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置． 二、(35分)设集合 Sn＝{1，2，…，n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集． 1．求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等． 2．求证：当 n≥3 时，Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．当 n≥3 时，求 Sn 的所有奇子集的容量之和． 三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi (xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)满足 (1) | xi |≤2，| yi |≤2，(i=1，2，3，4，5，6)， (2) 任何三点不在同一条直线上． 试证：在以Pi (i=1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2． |
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