1994年全国数学联合竞赛第二试（高中）
来源：数学联赛 文章作者：数学联赛 2008-11-04 10:44:12
| 一．(本题满分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1,z2,m均是复数，且z12-4z2=16+20i , 设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=2√7 。求|m|的最大值和最小值． 二．(本题满分25分)将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项． 三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I。∠B=60°,∠A < ∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明: (1) IO=AE； (2) 2R < IO+IA+IC < (1+√3)R 。 四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P={P1,P2,…P1994}， P中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为 m(G). (1)求m(G)的最小值 m0 (2)设G*是使 m(G*)=m0 的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案，使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形。 |
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