几个重要不等式(二)柯西不等式题解

，当且仅当b_i=la_i (1£i£n)时取等号

柯西不等式的几种变形形式

1.设a_iÎR,b_i>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当b_i=la_i (1£i£n)时取等号

2.设a_i,b_i同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b₁=b₂=…=b_n时取等号

例1.已知a₁,a₂,a₃,…,a_n，b₁,b₂,…,b_n为正数，求证：

证明：左边=

例2.对实数a₁,a₂,…,a_n,求证：

证明：左边=

例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：

证明：左边³

例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：

证明：左边=

　　　　 ³

　　　　 =

　　　　 =

例5.若n是不小于2的正整数，试证：

证明：

所以求证式等价于

由柯西不等式有

于是：

又由柯西不等式有

<

例6.设x₁,x₂,…,x_n都是正数(n³2)且，求证：

证明：不等式左端即　 (1)

∵，取，则　 　(2)

由柯西不等式有　 (3)

及

综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：

三、排序不等式

设a₁£a₂£…£a_n,b₁£b₂£…£b_n;r₁,r₂,…,r_n是1,2,…,n的任一排列，则有：

a₁b_n+ a₂b_n-1+…+ a_nb₁£a₁b_r1+ a₂b_r2+…+ a_nb_rn£ a₁b₁+ a₂b₂+…+ a_nb_n

反序和£乱序和£同序和

例1.对a,b,cÎR⁺,比较a³+b³+c³与a²b+b²c+c²a的大小

解：取两组数a,b,c；a²,b²,c²，则有a³+b³+c³³a²b+b²c+c²a

例2.正实数a₁,a₂,…,a_n的任一排列为a₁^/,a₂^/,…a_n^/，则有

证明：取两组数a₁,a₂,…,a_n；

其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有

例3.已知a,b,cÎR⁺求证：

证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a¹²³b¹²³c¹²>0

则

例4.设a₁,a₂,…,a_n是1,2,…,n的一个排列，求证：

证明：设b₁,b₂,…,b_n-1是a₁,a₂,…,a_n-1的一个排列，且b₁<b₂<…<b_n-1；

c₁,c₂,…,c_n-1是a₂,a₃,…,a_n的一个排列,且c₁<c₂<…<c_n-1

则且b₁³1,b₂³2,…,b_n-1³n-1；c₁£2,c₂£3,…,c_n-1£n

利用排序不等式有：

例5.设a,b,cÎR⁺,求证：

证明：不妨设a³b³c,则，a²³b²³c²>0

由排序不等式有：

两式相加得

又因为：a³³b³³c³>0,

故

两式相加得

例6.切比雪不等式：若a₁£a₂£…£a_n且b₁£b₂£…£b_n,则

a₁£a₂£…£a_n且b₁³b₂³…³b_n,则

证明：由排序不等式有：

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n= a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n³ a₁b₂+a₂b₃+…+a_nb₁

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n³ a₁b₃+a₂b₄+…+a_nb₂

…………………………………………

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n³ a₁b_n+a₂b₁+…+a_nb_n-1

将以上式子相加得：

n(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)³ a₁(b₁+b₂+…+b_n)+ a₂(b₁+b₂+…+b_n)+…+ a_n(b₁+b₂+…+b_n)

∴