指数函数、对数函数解析

一、计算：

例1.化简

(1)　 (2)

(3)

解：(1)x的指数是

所以原式=1

(2)x的指数是

=0

所以原式=1

(3)原式=

例2.若，求

解：因为

所以f(x)+f(1-x)=1

=

例3.已知m,n为正整数，a>0,a¹1,且

求m,n

解：左边=

原式为log_a(m+n)=log_amn

得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1

因为m,nÎN，所以从而m=n=2

二、比较大小

例1.试比较与的大小

解：令12¹⁹⁹⁵=a>0则

¸=

所以>

例2.已知函数f(x)=log_ax (a>0,a¹1,xÎR⁺)若x₁,x₂ÎR⁺,试比较与的大小

解：f(x₁)+f(x₂)=log_a(x₁x₂)

∵x₁,x₂ÎR⁺,∴ (当且仅当x₁=x₂时，取“=”号)，

当a>1时，有，∴

即 (当且仅当x₁=x₂时，取“=”号)

当a>1时，有，∴

即 (当且仅当x₁=x₂时，取“=”号)

例3.已知y₁=，y₂=，当x为何值时

(1)y₁=y₂　　　　 (2)y₁>y₂　　　　 (3)y₁<y₂

解：由指数函数y=3^x为增函数知

(1)y₁=y₂的充要条件是：2x²-3x+1=x²+2x-5 解得x₁=2,x₂=3

(2)y₁>y₂的充要条件是：2x²-3x+1>x²+2x-5 解得x<2或x>3

(3)y₁<y₂的充要条件是：2x²-3x+1<x²+2x-5 解得2<x<3

三、证明

例1.对于自然数a,b,c (a£b£c)和实数x,y,z,w若a^x=b^y=c^z=70^w (1) (2)

求证：a+b=c

证明：由(1)得：

∴

把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c

由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c

例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3<A<4

证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31

A=6lg2+lg31=lg(2⁶×31)=lg1984

1000<1984<10000　故3<A<4

例3.设f(x)=log_ax (a>0,a¹1)且 (q为锐角)，求证：1<a<15

证明：∵q是锐角，∴，从而a>1

又f(15)==sinq+cosq

=1

故a<15　 综合得：1<a<15

例4.已知0<a<1,x²+y=0，求证：

证：因为0<a<1，所以a^x>0,a^y>0由平均值不等式

故

四、图象和性质

例1.设a、b分别是方程log₂^x+x-3=0和2^x+x-3=0的根，求a+b及log₂a+2^b

解：在直角坐标系内分别作出函数y=2^x和y=log₂x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2^x和y=log₂^x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log₂^x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log₂x的交点A的横坐标，方程2^x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2^x的交点B的横坐标

设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，

所以a+b=2x_M=3　 log₂a+2^b=2y_M=3

例6.设f(x)=min(3+，log₂x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值

解：易知f(x)的定义域为(0,+¥)

因为y₁=3+在(0,+¥)上是减函数，y₂=log₂x在(0,+¥)上是增函数，而当y₁=y₂，即

3+=log₂x时，x=4，所以由y₁=3+和y₂=log₂x的图象可知

故当x=4时，得f(x)的最大值是2

另解：f(x)£3+=3- (1)　　　 f(x)=log₂x　 (2)

(1)´2+(2)消去log₂x，得3f(x)£6，f(x)£2

又f(4)=2,故f(x)的最大值为2

例7.求函数的最小值

解：由1-3^x>0得，x<0,所以函数的定义域为(-¥,0)

令3^x=t,则tÎ(0,1)，于是

故当x= -1时，得y的最小值-2+2log₂3

五、方程和不等式

例1.解方程(1)x+log₂(2^x-31)=5 　(2) 2^lgx×x^lg2-3×x^lg2-2^1+lgx+4=0

解：(1)原方程即：log₂2^x+log₂(2^x-31) =5

log₂[2^x(2^x -31)]=5　 (2^x)²-31×2^x=32

解得：2^x=32, ∴x=5

(2)原方程即：(2^lgx)²-5×2^lgx+4=0

解得：x₁=100,x₂=1

例2.设a>0且a¹1,求证：方程a^x+a^-x=2a的根不在区间[-1,1]内

解：设t=a^x,则原方程化为：t²-2at+1=0　 (1)

由D=4a²-4³0得a³1,即a>1

令f(t)= t²-2at+1

f(a)=a²-2a²+1=1-a²<0

所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t²-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内

例3.解方程：lg²x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)

解：由[x]的定义知，[x]£x，故原方程可变为不等式：

lg²x-lgx-2£0即-1£lgx£2

当-1£lgx<0时，[lgx]= -1，于是原方程为lg²x=1

当0£lgx<1时，[lgx]=0，原方程为lg²x=2，均不符合[lgx]=0

当1£lgx<2时，[lgx]=1，原方程为lg²x=3，所以lgx=，

当lgx=2时，x=100

所以原方程的解为x₁=

例4.当a为何值时，不等式

有且只有一解

解：易知：a>0且a¹1，设u=x²+ax+5，原不等式可化为

(1)当0<a<1时，原不等式为 (1)

由于当u³0时，与均为单调增函数，所以它们的乘积

也是单增函数

因为f(4)=log₃(2+1)×log₅(4+1)=1

所以(1)等价于u³4,即x²+ax+5³4此不等式有无穷多解

(2)当a>1时，不等式化为 (2)

由f(4)=1知，(2)等价于0£u£4，即0£x²+ax+5£4

从上式可知，只有当x²+ax+5=4有唯一解即D=a²-4=0，a=2时，不等式0£x²+ax+5£4有唯一解x= -1

综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解

例5.已知a>0且a¹1，试求使方程有解的k的取值范围

解：原方程即

即

分别解关于的不等式、方程得： (k¹0时)

所以解得k< -1或0<k<1

又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-¥,-1)U(0,1)