函数的最大值和最小值题解

例1.设x是正实数，求函数的最小值。

解：先估计y的下界。

又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：

但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。

例2. 求函数的最大值和最小值。

解 去分母、整理得：(2y-1)x²+2(y+1)x+(y+3)=0.

当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以

D=[2(y+1)]²-4(2y-1)(y+3)³0, y²+3y--4£0,

所以　 -4£y£1

又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以y_min=-4，y_max=1.

说明　 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数，xÎ[0,1]的最大值

解：设，则x=t²-1

y= -2(t²-1)+5t= -2t²+5t+1

原函数当t=时取最大值

例4求函数的最小值和最大值

解：令x-1=t ()

则

y_min=

例5.已知实数x,y满足1£x²+y²£4,求f(x)=x²+xy+y²的最小值和最大值

解：∵

∴

又当时f(x,y)=6，故f(x,y)_max=6

又因为

∴

又当时f(x,y)=，故f(x,y)_min=

例6.求函数的最大值和最小值

解：原函数即

令 (0<t£1) 则y=5t²-t+1

∴当x=±3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5

例7.求函数的最大值

解：设，则

f(x)=

由于 0£a<1,故f(x)£，又当x= (k为整数)时f(x)= ,

故f(x)_max=

例8.求函数的最大值

解：原函数即

在直角坐标系中，设点P(x,x²),A(3,2),B(0,1)，则

f(x)=|PA|-|PB|£|AB|=

又当时，f(x)=

故f _max (x) =

例9.设a是实数,求二次函数y=x²-4ax+5a²-3a的最小值m，当0£a²-4a-2£10中变动时，求m的最大值

解：y=x²-4ax+5a²-3a=(x-2a)²+a²-3a

由0£a²-4a-2£10解得：或£a£6

故当a=6时，m取最大值18

例10.已知函数f(x)=log₂(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。

解 因为点(x,y)在y=f(x)的图象上，所以y=log₂(x+1)。点在y=g(x)的图象上，所以故

令， 则

当，即时，，所以

从而 。

例11.已知函数的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。

解：将原函数去分母，并整理得(a-y)x²+bx+(6-2y)=0.

若y=a，即y是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y ¹a。于是

D=b²-4(a-y)(6-2y)³0,所以y²-(a+3)y+3a-£0.

由题设，y的最小值为2，最大值为6，所以(y-2)(y-6)£0, 即 y²-8y+12£0.

由(1)、(2)得　 解得：

例12.求函数 的最小值和最大值。

解 先求定义域。由　 最6£x£8.

当xÎ[6,8]，且x增加时，增大，而减小，于是f(x)是随着x的增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数。所以

f_max(x)=f(8)=0, f_min(x)=f(6)=0

例13.设x,y,z是3个不全为零的实数，求的最大值

分析：欲求的最大值，只须找一个最小常数k，使得xy+2yz£k(x²+y²+z²)

∵ x²+ay²³2xy　 (1-a)y²+z²³2yz

∴ x²+y²+z²³2xy+2yz

令2=,则a=

解：∵

∴

即

又当x=1,y=，z=2时，上面不等号成立，从而的最大值为

例14.设函数f:(0,1)®R定义为求f(x)在区间上的最大值

解：(1)若xÎ且x是无理数，则

f(x)=x<

(2) 若xÎ且x是有理数，设，其中(p,q)=1,0<p<q,由于

63q+9£64q-8，∴q³17

因此

∴f(x)在区间上的最大值

作业：

1.若3x²+2y²=2x,求x²+y²的最大值

2.设x,y是实数，且求u=x+y的最小值

3.已知x₁,x₂是方程x²-(k-2)x+k²+3k+5=0 (kÎR)的两个实数根，求x₁²+x₂²的最大值和最小值

4.求函数的最小值