竞赛讲座 之 平面三角

三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．

一、三角函数的性质及应用

　 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．

【例1】　求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。

解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。

即原函数的单调增区间为：[kπ-，kπ-]（k∈Z）。

【例2】　 若φ∈（0，），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。

解：∵在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，∴sin(cosφ)< cosφ。

∵在（0，）中，y=cosx单调递减，∴cosφ< cos(sinφ)。

∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】　 已知x,y∈[-，]，a∈R，且。求cos(x+2y)的值。

解：原方程组化为。

∵x,-2y∈[-，]，函数f(t)=t³+sint在[-，]上单调递增，且f(x)=f(-2y)

∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。

【例4】　求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d．

证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－= cos 1－<0，

∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d．

对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。

显然c∈（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。

故存在唯一的c＜d，使命题成立。

【例5】α、β、γ∈（0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。

解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0< sinγ<γ<。

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：β<α<γ。

【例6】　 n∈N，n≥2，求证：cos?cos? ??? ?cos>。

证明：∵0<<<???<<<1，

∴0<sin<，cos²=1-sin²>1-=，k=2，3，…，n。

∴(cos?cos? ??? ?cos)²>(?)?(?)?(?)???(?)

=?>>()²，

∴cos?cos? ??? ?cos>。

二、三角恒等变换

众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。

【例1】（1）已知cosβ= -，sin(α+β)= ，且0<α<<β<π，求sinα的值。

（2）已知sin(-α)= ，求的值。

提示：（1）sinα=。

（2）sin2α=1-2 sin²(-α)=；=。

【说明】三角变换重在角的变换。

【例2】求coscoscos…cos的值。

解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ???cos2ⁿθ=，得

coscoscoscos= -，∴coscoscoscos=。

又coscos=，cos=，

∴coscoscos…cos=××=。

解法2：coscoscos…cos

=??? ??? ?

==。

解法3：利用公式cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α，取α=、。

【例3】求cos⁴20°+cos⁴40°+cos⁴80°的值。

解：由倍角公式得

cos⁴θ=()²= (1+2cos2θ+cos²2θ)= +cos2θ+cos4θ，

∴cos⁴20°+cos⁴40°+cos⁴80°= ×3+(cos40°+ cos80°+ cos160°)

+(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°)

= +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。

【例4】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。

解：令θ=-β，则

(1)÷(2)得tg=， cos(α+θ)=，

∴sinαcosβ=sinαsinθ= -[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -。

【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0<θ<π，求θ。

解法一：由偶函数的定义，可得(cosθ+sinθ)sinx=0对任意x∈R成立。

∴cosθ+sinθ=0，2 sin(θ+)=0，

∴θ+=kπ，而0<θ<π，∴θ=。

解法二：由f(-)=f()，得θ=，然后验证f(x)是偶函数。

【例7】方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。

解：∵sinx+cosx+a=0，∴sin (x+)= -。

令t= x+，则t∈(，)，sint= -。

作出函数y= sint，t∈(,)的图象：

由图象可以看出：当-1< -<1且-≠即-2<a<-或-<a<2时，sint= -有相异两根t₁、t₂，原方程有相异两根α、β，并且

当-2<a<-时，t₁+t₂=(α+)+(β+)=π，α+β=；

当-<a<2时，t₁+t₂=(α+)+(β+)=3π，α+β=。

【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。

解：由已知得，

(1)²+(2)²得cos(x-y)= -，

同理，cos(y-z)= -，cos(z-x)= -。

∴x，y，z中任意两角的终边夹角为，不妨设

x=y++2mπ,m∈Z，y=z++2nπ,n∈Z，

∴x= z++2(m+n)π，

x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π，

∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz

= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz

= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz

= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)

=0。

【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：

sinαsin(+α)sin(-α)=sin3α，

cosαcos(+α)cos(-α)= cos3α，

tgαtg(+α)tg(-α)=tg3α。

如sin10°sin50°sin70°=sin(3×10°)= 。