竞赛专题讲座 之 类比、归纳、猜想

　 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证．

运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

　 可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型．

　 （1）降维类比

将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比．

【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA₁∥VA，OB₁∥VB，OC₁∥VC，A₁，B₁，C₁分别是所作直线与侧面交点．

　 求证：++为定值．

分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA₁∥AC，OB₁∥BC，分别交BC、AC于A₁、B₁，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．

证明：如图，设平面OA₁ VA∩BC＝M，平面OB₁ VB∩AC＝N，平面OC₁ VC∩AB=L，则有△MOA₁∽△MAV，△NOB₁∽△NBV，△LOC₁ ∽△ LCV．得

++=++。

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：

++=1。

∴++=1。

【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于．

【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图，易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．

证明：如图，正四面体 ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，G

为△BCD的中心，MN∩AG＝O．显然O是正四面体ABCD的中心．易知OG=?AG=，并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于，其球O必包含S．现证明如下．

根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG．设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球O内，现证P亦不在S内．

若球O交OC于T点。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos(π-∠TOM)=-。由余弦定理：

TN²=ON²+OT²+2ON?OT?=，∴TN=。

又在 Rt△AGD中，N是AD的中点，∴GN=。由GN= NT＝， OG＝OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON＝∠GON，且均为钝角．

于是显然在△GOC内，不属于球O的任何点P，均有∠PON>∠TON，即有PN>TN=，P点在 N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S．

由此可见，球O包含六个球的交集S，即S中不存在两点，使其距离大于．

（2）结构类比

某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．

【例3】任给7个实数x_k（k=1，2，…，7）．证明其中有两个数x_i，x_j，满足不等式0≤≤?

【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：x_k=tgα_k（k ＝l，2，…，7），证明必存在α_i，α_j，满足不等式0≤tg(α_i-α_j)≤?

证明：令x_k=tgα_k（k ＝l，2，…，7），α_k∈（-，），则原命题转化为：证明存在两个实数α_i，α_j∈（-，），满足0≤tg(α_i-α_j)≤?

由抽屉原则知，α_k中必有 4个在[0，）中或在（-，0）中，不妨设有4个在[0，）中．注意到tg0＝0，tg=，而在[0，）内，tgx是增函数，故只需证明存在α_i，α_j，使0<α_i-α_j <即可。为此将[0，）分成三个小区间：[0，]、（，]、（，）。又由抽屉原则知，4个α_k中至少有2个比如α_i，α_j同属于某一区间，不妨设α_i>α_j，则0≤α_i-α_j ≤，故0≤tg(α_i-α_j)≤?这样，与相应的x_i=tgα_i、x_j=tgα_j，便有0≤≤?

（3）简化类比

　 简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法．比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等．

　 【例4】已知x_i≥0（i＝1，2，…，n），且x_l+x₂+…+x_n=1。

求证：1≤++…+≤．

　 【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题：“已知x_l≥0，x₂≥0，且x_l+x₂ =1，求证1≤+≤”．本类比题的证明思路为：∵2≤x_l+x₂＝l，∴0≤2≤1，则1≤x_l+x₂+2≤2，即1≤(+)²≤2，∴1≤+≤．这一证明过程中用到了基本不等式和配方法．这正是要寻找的证明原命题的思路和方法．

证明：由基本不等式有0≤2≤x_i+x_j，则

0≤2≤(n-1)( x_l+x₂+…+x_n)=n-1

∴1≤x_l+x₂+…+x_n +2≤n，即1≤(++…+)²≤n

∴1≤++…+≤．

所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设M_i（i＝1，2，…，n）是要研究对象M的特例或子集，若M_i（i＝1，2，…，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P．

如果＝M，这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特例，因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法．

　 如果是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法．由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例．

本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解．

【例5】证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十．

【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手，我们可以从特例考察起：先考虑面积为1的正方形，其周长恰为4，对角钱之和为2即．其次考察面积为1的菱形，若两对角线长记为l₁、l₂，那么菱形面积S=l₁?l₂，知

l₁+ l₂≥2=2=，菱形周长： l＝4≥2=4。

由此，可以猜想：对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑．

【证明】设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形，其有关线段及角标如图．则

S_ABCD= (eg+gf+fh+he)sinα

≤ (e+f)(g+h)≤，

∴e+f+g+h≥2，即对角线长度之和不小于．

∴a＋b＋c＋d≥4，即周长不小于4．

综上所述，结论得证，

【例 6】在一直线上从左到右依次排列着 1988个点P₁，P₂，…，P₁₉₈₈，且P_k是线段P_k-1P_k+1的k等分点中最靠近P_k+1的那个点（2≤k≤1988），P₁P₂=1，

P₁₉₈₇ P₁₉₈₈=l．求证：2l<3^-1984。

【分析】本题初看复杂，难以入手．不妨先从特殊值出发，通过特殊值的计算，以便分析、归纳出一般性的规律．

当k=1时，P₁P₂=1（已知）；当k= 2时， P₂是P₁P₃的中点，故P₂P₃= P₁P₂= 1；当k=3时， P₃是P₂P₄的三等分点中最靠近的那个分点，即P₃P₄= P₂P₄= ( P₂P₃+ P₃P₄) =P₂P₃+ P₃P₄，故P₃P₄= P₂P₃=①

由此可推得₄ P₅=×②，P₅P₆=××③

由①、②、③，可归纳以下猜想：

P_kP_k+1=P_k-1P_k。

【证明】

于是有：

令k=1987，则有

故2l<3^-1984。