２０００年ＩＭＯ中国国家集训队选拔考试题目

一、如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，线段ＡＢ上有一点Ｄ，线段ＡＣ的延长线上有一点Ｅ，使得ＤＥ＝ＡＣ；线段ＤＥ与?ＡＢＣ的外接圆交于Ｔ点，Ｐ是线段ＡＴ的延长线上的一点．证明：点Ｐ满足ＰＤ＋ＰＥ＝ＡＴ的充分必要条件是点Ｐ在△ＡＤＥ的外接圆上．

（裘宗沪 供题）

二、给定正整数ｋ、ｍ、ｎ，满足１≤ｋ≤ｍ≤ｎ，试求  _{<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />}的值，并写出推算过程．

（许以超 供题）

三、对正整数ａ≥２，记Ｎａ为具有以下性质的正整数ｋ的个数：ｋ的ａ进制表示的各位数字的平方和等于ｋ．证明：

（１）Ｎa为奇数；

（２）对任意给定的正整数Ｍ，存在正整数ａ≥２，使得Ｎa≥Ｍ．

（陈永高 供题）_{<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />}

(２０００-０４-０１ ８：００～１２：３０)

四、设ｆ（ｘ）是整系数多项式，并且ｆ（ｘ）＝１有整数根．约定将所有满足上述条件的ｆ组成的集合记为Ｆ．对于任意给定的整数ｋ＞１，求最小的整数ｍ（ｋ）＞１，要求能保证存在ｆ∈Ｆ，使得ｆ（ｘ）＝ｍ（ｋ）恰有ｋ个互不相同的整数根．

（张筑生 供题）

五、（１）设ａ、ｂ是正实数，数列｛ｘ_ｋ｝和｛ｙ_ｋ｝满足

ｘ_０＝１，ｙ_０＝０，且

ｋ＝０，１，２，…．

求证：

ｘ_k＝ ，

其中λ_ｋ，1＝ ．

（２）记ｕ_ｋ＝ ，对任意给定的正整数ｍ，将ｕ_ｋ除以２^ｍ所得的余数记为ｚ_ｍ，ｋ．求证：｛ｚ_ｍ，ｋ?｝，ｋ＝０，１，２，…，为纯周期数列，并求出最小正周期．

（黄玉民 供题）

六、设ｎ为正整数，记集合Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ，ｙ是整数，１≤ｘ，ｙ≤ｎ｝．定义在Ｍ上的函数ｆ具有性质：

（ａ）ｆ（ｘ，ｙ）取值于非负整数；

（ｂ）当１≤ｘ≤ｎ时，有 =n-1；

（ｃ）若ｆ（ｘ_１，ｙ_１）ｆ（ｘ_２，ｙ_２）＞０，则（ｘ_１－ｘ_２）（ｙ_１－ｙ_２）≥０.

试计算这样的函数ｆ的个数Ｎ（ｎ），并求出Ｎ（４）的具体数值．