小学奥数竞赛专题之盈亏问题

　　【专题介绍】

　　人们在分东西的过程中经常会遇到多了（盈）或者少了（亏）这样的情况，数学来源于生活，根据分东西的这一过程编成的应用题就是盈亏问题。盈亏问题在奥数题中很常见也很重要，所占的分值也比较大。盈亏问题以及用两种相似的条件限制同一对象的应用题．解题的基本步骤为先恰当设定单位，然后通过比较而求出一个单位对应的具体数值。下面请看典型例题，从例题中可以更清楚地找到解答这一类题的方法。

　　【经典例题】

　　1．少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？

　　【分析】：解这道题的关键在于条件的转换，把“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”转换成“每人挖6个树坑，还差2×（6－4）个树坑。”则本题成为“一盈一亏”的盈亏问题；对比两个条件，因为每人多挖（6－5）一个；所以就要多挖［3＋2×（6－4）］个，这样就可求出人数，继而求出树坑数。在这里我们把两个条件中每人挖的差（6－5）叫分差，因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。

　　本题中：总差÷分差＝人数；

　　推广可得：两次分配的差叫分差，

　　总差分3种：一盈一亏中：盈＋亏＝总差；在双盈或双亏中：大数－小数＝总差；

　　总差÷分差＝份数份数在不同的题目中表示不同的意思。

　　解：［3＋2×（6－4）］÷（6－5）＝7（人）

　　7×5＋3＝38（个）--树坑数答：共挖了38个树坑。

　　2．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？

　　【分析】：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔，

　　解1：都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。

　　［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--钢笔的价钱

　　25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数

　　解2：都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多（12×5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。

　　［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）--圆珠笔的价钱

　　13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数

　　3．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？

　　【解答】：关键在于条件的理解，

　　每个寝室安排8个人，要用33个寝室；因没说盈或亏，

　　我们只能认为至少有：（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：33×8＝264（人）；

　　每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，

　　我们也只能认为至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）；根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。（至少取大数，至多取小数，）