“圆锥的体积”教学实录与评析

教学目标：

1．通过动手操作实验发现等底等高的圆柱、圆锥体积之间的关系，从而得出圆锥体积的计算公式。

    2．能用公式解答有关实际问题。

    3．培养动手能力和探索意识。

    教学重点：发现关系，得出公式。

    教学难点：发现关系。

    教学准备：多媒体课件。圆柱、圆锥教具，大米。

    教学过程：

    一、导入

    1．我们认识了圆锥，谁来向大家介绍一下圆锥的各部分及其特征。（圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。）什么是圆锥的高？（从圆锥顶点到底面圆心的距离叫圆锥的高）。生活中你见过哪些物体的形状是圆锥体的？

    2．师：如果要把一根底面直径是10厘米、长30厘米的圆柱形木料，加工成底面直径是10厘米、高15厘米的圆锥。想一想，该怎么办？课件演示:

（1）先在木料上截取长15厘米的一段。

（2）设法在横截面上找出圆心，即圆锥的顶点。

    （3）从顶点到下底面削去多余的部分就可制成一个圆锥了。

    比一比：制成的圆锥的底面积与截取圆柱的底面积有什么关系？（相等）制成的

圆锥的高与截取圆柱的高有什么关系？（相等）

    师：也就是说制成的圆锥与截取圆柱是等底等高的。估计一下，制成的圆锥的体

积与截取圆柱的体积有怎样的关系？（1/2、1/3，圆锥比圆柱体积小……）

    师：同学们的估计对不对呢？我们一起来研究“圆锥的体积”。（板书课题）

[评析：教师从把圆柱形木料加工成圆锥的实际问题出发引入新课，别具匠心。目

的有二：一是把新知（圆锥）与旧知（圆柱）联系起来，为探索活动定向；二是凸现

等底等高现象，为圆锥体积学习先做准备。]

二、探索新知

l．出示圆锥：什么是物体的体积？什么是圆锥的体积？（圆锥所占空间的大小叫做圆锥的体积）。

根据以前的知识要求出这个圆锥的体积有什么办法？（把圆锥浸没在装有水的长方体、正方体或圆柱体容器中，看水面上升的高度，计算出上升的那一部分水的体积，就是这个圆锥的体积）（把圆锥看成一个容器，倒入水，再把水倒人量杯中，水的体积就是圆锥的体积）……

师：这些想法都很好，但有一定的局限性，我们要找一种计算圆锥体积的方法。想一想能不能找到圆锥与以前学过的某种立体图形的体积之间的联系来发现圆锥体积的计算方法。

[评析：教师在这儿强化体和概念很有必要，避免了把教学活动在单纯指导体积公式上面。“怎样求圆锥的体积？”是一个开放问题，学生提出的多种方法更强化了体积意义的认识，有利于空间观念的形成。]

2．讨论：（1）我们以前学过哪几种立体图形？拿哪种立体图形来帮助研究圆锥的体积更合适？为什么？（因为圆锥有一个圆形底面和一个侧面是曲面，圆柱也有一个圆形的底面和一个侧面也是曲面，用圆柱帮助研究圆锥更方便。）

（2）出示4个圆柱、1个圆锥。

师：这里有4个圆柱，选哪一个来帮助研究圆锥的体积呢？演示比较：圆柱与圆锥等底等高，等底不等高，等高不等底，既不等底又不等高。（选等底等高的圆柱与圆锥研究更便于发现规律。）

（3）出示等底等高的圆柱与圆锥以及一小袋大米，想一想，利用这些材料，你能设计一个实验来研究圆锥的体积吗？

圆柱、圆锥学具都是容器，通过研究容积的实验来得出体积的计算公式。

［评析：教师没有把教学活动简单推向具体的实验操作上面，而在前面组织了两个层次的讨论，有利于培养学生的探究意识；提高探索策略的合理性。教师组织对“体积”和“容积”两个概念的辨析，更使概念准确、严谨，提高了课堂教学的科学性。

3．动手实验：二人一组进行操作，注意观察实验过程。

4．汇报操作过程：往空圆锥里装满米然后倒人空圆柱里倒了三次正好倒满。

发现了什么？（圆柱体积是和它等底等高的圆锥体积的3倍，圆锥体积是和它等底等高的圆柱体积的1/3。）

（学生说圆柱体积是圆锥体积的3倍，师出示不等底等高的圆锥、圆柱，问：圆柱体积还是圆锥体积的3倍吗？）

根据学生回答师板书：V_锥=1/3V_柱

[评析：让学生放手操作比单纯看书、听讲更有利于知识的内化，这也就是当前流行的“做教学”的思想。值得一提的是，在教具、学具日趋高档化的情况下，组织学生因陋就简就地取材，进行剪一剪、拼一排、移一移、倒一倒等操作活动效果明显，值得提倡。]

练习：根据已知圆柱（或圆锥）的体积，求出与它等底等高的圆锥（或圆柱）的体积。

师：根据已知圆柱的体积，乘以1/3就可求出与它等底等高的圆锥的体积，如果圆柱的体积不是直接已知的，你能求出圆锥的体积吗？

也就是可以利用圆柱体积公式“V_柱=Sh”得出圆锥体积公式“V_锥=1/3Sh”。

5．出示例1：一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米，这个零件的体积是多少？

师：要求圆锥体积可以用V =1/3Sh，你会求吗？（学生尝试，师巡视）

汇报： 1/3×19×12=76（立方厘米）

    答：这个零件的体积是76立方厘米。  

“19×l2”求出的是什么？为什么要“×1/3”。

 三、巩固应用

 l师：要求圆锥的体积必须知道底面积和高，如果底面积不是直接已知，还会求圆锥的体积吗？

求下列圆锥的体积：（板演订正）

底面半径是4厘米、高21厘米。

底面半径是6厘米、高6分米。

底面周长是18.34分米、高2分米。

2．填空：

（1）圆柱圆锥等底等高，圆柱体积是87立方厘米，圆锥体积是（    ）立方厘米。若圆锥的体积是34立方厘米，圆柱体积是（     ）立方厘米。

（2）一个底面积是12平方分米、高6分米的圆柱，它的体积是（    ）立方分米。如果把它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（       ）。削去部分的体积是（     ），削去部分的体积是圆柱体积的（      ），是圆锥体积的（      ）。

（3）一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱体积比圆锥多18立方米，圆柱体积是〔     〕，圆锥体积是（      ）。

3．判断：

（l）圆锥体积是圆柱体积的1/3。

（2）如果圆柱圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥体积是圆柱体积的2/3。

（3）圆锥的底面积是3平方厘米，体积是6立方厘米。

（4）等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积比圆柱体积小2/3。

4．小结：这节课我们学习了什么新知识？你是怎样学习的？通过动手实验发现了等底等高的圆锥与圆柱之间的体积关系，并由此推导出了圆锥体积的计算公式。同学们学得都很认真，下面老师还要请同学们来动脑筋：   

要使等底等高的圆柱与圆锥体积相等，你有什么办法？（生讲师课件演示）

（1）把圆锥的高（或底面积）扩大3倍，使圆锥的体积扩大3倍，与圆柱的体积相等。  

（2）把圆柱的高（或底面积）缩小3倍，使圆柱的体积缩小3倍，与圆锥的体积相等。

[评析：练习设计由浅入深，要求逐步提高，学生的思维也逐步得到发展。需要指出的是，练习设计不仅要从教材出发，还要从学生的实际出发，应该避免不切合学生实际的盲目拔高现象。在本课结尾时，教师运用电教媒体，动态展示底面积和高变化的情况，变想象为直观，难点得到突破，学生兴趣盎然，留下精彩回味。]

四、作业

[总评：本课力图摒弃由教师讲、学生听的传统教学模式，学习采用了以生活实际为中心，师生互动“做数学”的新教学模式，并取得了初步成效。教学活动中学生的主体地位得到加强：从发现问题到确定研究方法，从选择实验材料到推出计算公式都由学生参与得到。教师的主导作用也得到充分发挥；从创设情境、穿针引线到启发引导、查漏补缺，不失时机地把教学活动一波一波地推向高潮。

全课教学设计结构严谨、条理清楚。既抓住了知识的整体落实、更注意了学生能力的培养，还不放过细微环节的科学处理，是一节基础扎实、效果良好、具有新意的好课。]