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马的路径(奥数思维能力拓展)

2010-05-14 16:34:33      下载试卷

  

  在与数学有关的游戏中,有一个历史非常悠久的问题,那就是研究国际象棋棋盘上马走过每个方格一次的路径。许多知名的数学家,如德莫弗(De Moivre)、欧拉(Euler)与范德蒙德(Vandermonde)等人,在过去的200年中都研究过这个问题,不过总还是会有新的发现。


  图1是德莫弗对8×8棋盘所作的一种解答,方格中的号码代表马的走法。图2是相同路径的另一种表示方法。两者各有其优点,你可以自行决定采用哪一种表示法。不论你使用哪一种方法,都会需要很多的方格纸。第二种使用直线连接的表示方法尚未完成,但已经显示出德莫弗解答的策略是,在棋盘上沿一个方向移动,而且尽可能地向外侧靠近。在方格纸上重新绘制图2,在自己尝试解题之前,先完成德莫弗的解。

  对于这类问题,最好是从较小的棋盘开始,以便先熟悉马在各方格移动的方法。



  显然在3×3的棋盘上,马无法走完全程(图3)。从外圈的方格出发,马可以轻易地走过所有的外圈方格,但无法走到中央的方格;若是从中央的方格出发,马则无路可走。

  那么在4×4的棋盘上,马是否可能走完全程?



  图4是个错误的走法,马走了4步之后就动弹不得。若你无法走遍所有16个方格,那么在不重复经过任一方格的情况下,最多能走过多少方格?

  请研究马在5×5、6×6、7×7的棋盘上的路径。



  图5是马在8×4的长方形棋盘上的路径。马是否有可能在更小的长方形棋盘上走完全程?

  研究马在其他形状的棋盘上的路径也很有趣。如图6的形状,曾被作者误以为是不可能走完全程的形状,但其实是可以走完全程的。

  言归正传,再回到传统正方形的棋盘。研究此问题的许多数学家都试图找出具有特殊性质的解,例如找出马最后回到起点的路径。

  图7所示的走法由欧拉所完成。这种路径称为“重返路径”。图7的解还具有一种更奇妙的性质,那就是马先走完一半的棋盘,再走另一半。



  请试着在6×6的棋盘上找出重返路径。

  用一种很简单的方法可以证明,任何奇数方格的棋盘都不可能有重返路径。看看你能否找到这个证明方法。

  在其他形状的棋盘上也可能找到重返路径。可试一试图9.另一种也是由欧拉所找出的解法,使许多其他人提出的解法相形见继。那就是马的路径可以形成8×8的幻方,即任何行或列(但不包含对角线)的数字和都等于260,如图8所示。试着去验算一下其“魔术般”的性质,并研究其路径的对称性。根据马的走法,也可以设计出一种有趣的游戏。从5×5的棋盘上的任一方格开始,两人轮流移动一个马。移动时不能重复已经走过的方格,走最后一步的人赢。

 

来源:奥数网 作者:——

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