第二届走进数学王国邀请赛决赛试卷及答案详解(3)

　　4、小强和小刚两个同学在一个环形跑道上跑步，他们从同一个起点朝着同一个方向跑步，其中小强的速度是小刚速度的2.5倍，而且还知道当小强第一次追上小刚是，小刚已经跑了240米的路程。请问环形跑道多长？

　　分析：这个题目在小学行程问题中，应该说只要是奥数书，就会有很多的这样的题目。但是有不少的学生错误了。关键在于：1、粗心（其中就有这样的学生：小强速度是小刚的2倍，他们却理解为快了2倍）

　　从同一个地方朝着一个方向跑，而且还是环行，那么第一次追上其中蕴涵的意思是说：小强比小刚多跑了一个环行的周长。

　　同时，当时间一定时（两个人出发到第一追上时，两人跑步时间是相等的），速度与路程成正比。所以这里，当小刚跑了240米时，小强跑的就应该是小刚的240米的2.5倍=600米。

　　而这个600米是指小强比小刚多跑了一个环行周长的路程。

　　所以要求环行跑道多长就要用600—240=360米。我所辅导的有一个小孩把最后两个题目都做出来了，而这个题目却粗心大意地错了。实在不应该。

　　正确答案：360米。

　　5、小红和小兰都有一些画片，数量各自都不超过50张。其中，小红对小兰说：“如果你给我一些数量的画片，那么我的画片数量就是你的3倍。”同时，小兰也对小红说：“如果我给你同样多的画片，那么你给画片就是我的4倍。”请问，小红原来有多少张画片？

　　分析：第一次是给了小兰给小红一定数量，小红的数量则是总数的4/5；

　　第二次是小红给小兰相同数量，小红的数量则是总数的3/4.

　　可见，小红占总数的分率或者叫比例从4/5降到了3/4，一共降低了1/20，原因再与第二次比第一次小红一共少拥有2x个数量。（这个假设相同数量为x）

　　另外，我们利用数论的知识，从第一种情况知道总数为5的倍数，从第二种情况又知道是4的倍数，所有数量的总数应该是4和5的公倍数，最小公倍数为20.

　　总数可能是20、40、80三种可能，之后的100以及更大的公倍数就不可能了，因为两者都不超过50.

　　之前用单位1已经知道了总数应该是40x，这个x的值至少是1，所以数量总数应该是40或者是80

　　我们就讨论一下

　　1）当总数为40的时候，显然一个是31一个是9

　　具体的是：第一种中小红有40乘以4/5=32个，第二种情况中小红有40乘以3/4=30，前后相差2即我们假设的2x，所以x=1，所以第一种中小红得到了1后变成了32，所以小红以前是31个，小兰是9个。

　　2）当总数为80的时候，显然一个是62一个是18

　　这个因为和题目中的两者都不超过50矛盾，所以只有

　　31和9是成立的。

　　所以正确答案为31张。